ACM UVa 算法题 #108 - Maximum Sum的解法

UVa 507和108其实是相关的。507是可以看作是一维的Maximum Interval Sum问题，而本题则是

任何一个n*m的Rectangle：

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
.....................
am1 am2 ... amn

可以看作一个一维的数组，其值为：( (a11+a12+...+a1n), (a21+a22+...+a2n), ..., (am1+am2+...+amn) )
于是求该Rectangle中最大n*k的Sub-Rectangle可以通过求该变换过的一维数组中的最大连续序列获得。注意求得的结果是n*k的。那么，对于二维数组中的每一行都可以有(1+n)*n/2种子序列，比如

a1,
a1, a2
a1, a2, ... an
a2,
a2, a3,
a2, a3, ... an
...
an-1, an
an

通过对每一个这样的子序列求和，正如上面所说，可以把2维问题转化为1维问题。

那么最终的算法的复杂度是多少呢？直觉上，求每行的i...j的子序列需要O(n^3)的复杂度（3层循环，一层i，一层j，一层从i+到j）再加上一维的从左往右的Scan共是O(n^4)。其实，求每行i..j的子序列不需要O(n^3)，注意到从i...j-1到i...j中间相差一个元素，因此可以通过利用上一次的计算的结果来累加的方式获得，所以只需要O(n^2)就可以做到。于是最后的复杂度为O(n^3)。

代码如下：

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// ACM UVa Problem #108
// http://acm.uva.es/p/v1/108.html
//
// Author:  ATField
// Email:   atfield_zhang@hotmail.com
//

#include "stdafx.h"

#include <iostream>
#include <cstdlib>

using namespace std;

#define MAX 105

int main(int argc, char *argv[])
...{
    int n;

    cin >> n;

    char r[MAX][MAX];

    for( int i = 0; i < n; ++i )
        for( int j = 0; j < n; ++j )
        ...{
            int num;
            cin >> num;
            r[i][j] = (char)num;
        }

    
    //
    // find max sub rectangle
    //

    int max = r[0][0];
    int max_column = 0;
    int max_span = 0;
    int max_row_start = 0;
    int max_row_end = 0;
    int sum[MAX];

    for( int column = 0; column < n; ++column)
    ...{
        for( int row = 0; row < n; ++row )
            sum[row] = 0;
        for( int span = 0; span < n - column; ++span )
        ...{
            int current = 0;
            int left = 0;
            
            for( int row = 0; row < n; ++row )
                sum[row] = sum[row] + r[row][column + span];

            for( int i = 0; i < n; ++i )
            ...{
                if( current < 0 )
                ...{
                    left = i;
                    current = 0;
                }

                current += sum[i];

                if( current > max )
                ...{
                    max = current;
                    max_row_start = left;
                    max_row_end = i;
                    max_column = column;
                    max_span = span;
                }
            }
        }
    }

    cout << max;
    
    return 0;
}